Να ένα διαγώνισμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου, που καλύπτει την ύλη έως και τον ρυθμό μεταβολής:
Θέμα 1ο
Α. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις:
1. Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Θ.Δ.Λ.).
Απάντηση: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο c ∈ (a, b) τέτοιο ώστε:
f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a)
2. Τι εκφράζει γεωμετρικά η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο;
Απάντηση: Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x0 εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο.
Β. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = x^3 – 3x + 2 και g(x) = e^x.
1. Να υπολογίσετε τις παραγώγους f'(x) και g'(x).
Απάντηση: f'(x) = 3x^2 – 3 και g'(x) = e^x.
2. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f(x).
Απάντηση: f'(x) = 3x^2 – 3 = 0 ⇒ x^2 = 1 ⇒ x = ±1. Τα κρίσιμα σημεία είναι x = 1 και x = -1.
Θέμα 2ο
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x^4 – 4x^2 + 3.
Α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης.
Απάντηση: f'(x) = 4x^3 – 8x.
Β. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.
Απάντηση: f'(x) = 0 ⇒ 4x(x^2 – 2) = 0 ⇒ x = 0, ±√2.
Γ. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι αύξουσα ή φθίνουσα.
Απάντηση: Αύξουσα: (-∞, -√2) ∪ (0, √2), Φθίνουσα: (-√2, 0) ∪ (√2, +∞).
Δ. Να προσδιορίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης.
Απάντηση: Τοπικό μέγιστο στα x = -√2 και x = √2, Τοπικό ελάχιστο στο x = 0.
Θέμα 3ο
Μια σφαίρα διαστέλλεται με ρυθμό dV/dt = 12 cm³/s.
Α. Να εκφράσετε τον όγκο της σφαίρας συναρτήσει της ακτίνας της.
Απάντηση: V = (4/3)πr³.
Β. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ακτίνας όταν r = 2 cm.
Απάντηση: dr/dt = 3 / (4π) cm/s.
Θέμα 4ο
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x) – x.
Α. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης.
Απάντηση: f'(x) = 1/x – 1.
Β. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.
Απάντηση: f'(x) = 0 ⇒ x = 1.
Γ. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα.
Απάντηση: Αύξουσα: (0, 1), Φθίνουσα: (1, +∞). Τοπικό μέγιστο στο x = 1.
Δ. Συμπεριφορά στο x → +∞.
Απάντηση: f(x) → -∞.
Σύνοψη:
Το διαγώνισμα στα μαθηματικά της Γ’ Λυκείου καλύπτει τις βασικές έννοιες της παραγώγου και του ρυθμού μεταβολής. Περιλαμβάνει τέσσερα θέματα:
- Θεωρία και βασικοί υπολογισμοί παραγώγων:
- Διατύπωση του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Διαφορικού Λογισμού.
- Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου.
- Υπολογισμός παραγώγων συναρτήσεων και εύρεση κρίσιμων σημείων.
- Μελέτη συνάρτησης:
- Υπολογισμός παραγώγου.
- Εύρεση κρίσιμων σημείων και διαστημάτων μονοτονίας.
- Προσδιορισμός τοπικών ακροτάτων.
- Εφαρμογή στον ρυθμό μεταβολής:
- Υπολογισμός του ρυθμού μεταβολής της ακτίνας μιας διαστελλόμενης σφαίρας.
- Ανάλυση λογαριθμικής συνάρτησης:
- Παράγωγος, κρίσιμα σημεία, μονοτονία και ακρότατα.
- Μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς στο άπειρο.
Το διαγώνισμα αξιολογεί την κατανόηση της παραγώγου, των γεωμετρικών και φυσικών της ερμηνειών, καθώς και την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων με βάση τον ρυθμό μεταβολής.
