Διαγώνισμα β λυκείου άλγεβρα συστήματα συναρτήσεις

Ενδεικτικό διαγώνισμα Άλγεβρας Β’ Λυκείου με θέματα που καλύπτουν συστήματα και συναρτήσεις, όπως συνηθίζεται στα σχολικά διαγωνίσματα.

Θέματα: Συστήματα – Συναρτήσεις

Διάρκεια: 2 ώρες

Οδηγίες: Να λυθούν όλα τα θέματα με πλήρη αιτιολόγηση.

⚪ ΘΕΜΑ Α – Θεωρία

1. Ορισμός: Τι ονομάζεται συνάρτηση;
2. Πότε μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα;
3. Πότε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει:
   • μία λύση
   • άπειρες λύσεις
   • καμία λύση
4. Δώστε παράδειγμα γνησίως φθίνουσας συνάρτησης και αιτιολογήστε.

⚪ ΘΕΜΑ Β – Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x² - 4x + 3, με x ∈ ℝ

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
2. Να βρείτε τις ρίζες της.
3. Να μελετήσετε τη μονοτονία της.
4. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της.
5. Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.

⚪ ΘΕΜΑ Γ – Συστήματα

Δίνεται το σύστημα:

  2x + 3y = 5
  x - y = 1

1. Να λυθεί με αντικατάσταση.
2. Να λυθεί με μέθοδο αντίθετων συντελεστών.
3. Ποια μέθοδος ήταν πιο εύκολη και γιατί;

⚪ ΘΕΜΑ Δ – Εφαρμογή

Ένα θέατρο πουλάει δύο είδη εισιτηρίων: κανονικά με 12€ και μειωμένα με 8€. Πουλήθηκαν 100 εισιτήρια συνολικά και εισπράχθηκαν 1040€.

1. Θέστε σύστημα με αγνώστους τα κανονικά και τα μειωμένα εισιτήρια.
2. Λύστε το σύστημα.
3. Πόσα ήταν τα μειωμένα εισιτήρια;

✅ Λύσεις

ΘΕΜΑ Α

1. Συνάρτηση είναι μια αντιστοιχία που αντιστοιχίζει σε κάθε x έναν και μόνο έναν y.
2. Γνησίως αύξουσα όταν: για κάθε x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
3. Ένα σύστημα:
   • Έχει μία λύση όταν οι ευθείες τέμνονται.
   • Άπειρες λύσεις όταν ταυτίζονται.
   • Καμία λύση όταν είναι παράλληλες.
4. Παράδειγμα: f(x) = -2x + 5, επειδή για x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

ΘΕΜΑ Β

1. Πεδίο ορισμού: ℝ
2. Ρίζες: x = 1 και x = 3
3. Μονοτονία:
   • Φθίνουσα στο (−∞, 2)
   • Αύξουσα στο (2, +∞)
4. Ελάχιστη τιμή: f(2) = -1
5. Παραβολή με κορυφή το (2, −1), τέμνει το x στο 1 και 3

ΘΕΜΑ Γ

1. Αντικατάσταση: x = y + 1 → 2(y+1) + 3y = 5 ⇒ y = 3/5, x = 8/5
2. Αντίθετοι συντελεστές:
   • 3(x − y) = 3 ⇒ 3x − 3y = 3
   • 2x + 3y = 5
   • Προσθέτουμε: 5x = 8 ⇒ x = 8/5, y = 3/5
3. Πιο εύκολη: Αντικατάσταση, γιατί η δεύτερη εξίσωση λυνόταν άμεσα ως προς x.

ΘΕΜΑ Δ

1. Σύστημα:
   • x + y = 100
   • 12x + 8y = 1040
2. Από (1): y = 100 − x
   Στην (2): 12x + 8(100 − x) = 1040 ⇒ x = 60 ⇒ y = 40
3. Απάντηση: 40 μειωμένα εισιτήρια